La revue trimestrielle canadienne, 1 janvier 1942, Décembre

28ème année No 112 MONTRÉAL décembre 1942 fSgz- x % Revue Trimestrielle Canadienne Art de l’ingénieur—Economie politique et sociale—Mathématiques Législation—Histoire—Statistique—Architecture—Sciences Hygiène—Industrie—Forêts—Finances—Transports.SOMMAIRE Pages 353 — I.La Méthode axiomatique en Géométrie.Thomas greenwood 380— II.L’Équation de Combustion.Boiesiaw szczeniowski 392 — III.Un Oscillateur linéaire et symétrique pour la Déviation d’un Faisceau cathodique.J.-C.BERNIER 401— IV.Théorie de l’Élasticité et Élasticimétrle.Auftusto DURELLI 432 — V.Contribution à l’Étude des Ciments magnésiens.Louis asselin 444 — VI.Étude du Béton avec Usage des Précontraintes.C.-E.CAMPEAU 462 — VII.Revue des Livres.463 — VIII.Vie de l’École et de l’Association.ASSOCIATION DES DIPLÔMÉS DE POLYTECHNIQUE MONTRÉAL COMITÉ DE DIRECTION Président: Monseigneur Olivier Maurault, p.s.s., Recteur de l’Université de Montréal.Membrea: MM.Augustin Frigon, Président de la Corporation de l’École Polytechnique._ Armand Circé, Directeur de l’École Polytechnique de Montréal.Victor Doré, Surintendant de l’Instruction Publique L’hon.Léon-Mercier Gooin, Professeur à l’Université de Montréal.Théo-J.Lafrenière, Professeur à l’École Polytechnique.Olivier Lefebvre, Vice-Président, Commission des Eaux Courantes.Édouard Montpetit, Secrétaire général de l’Université de Montréal.Antonio Perrault, Professeur à l’Université de Montréal.Arthur Surveyer, Ingénieur Conseil.Ivan-E.Vallée, Sous-Ministre, Département des Travaux Publics de la Province de Québec.L.Brunotto, Bibliothécaire de l’École Polytechnique.COMITÉ D’ADMINISTRATION ET DE RÉDACTION Président: Arthur Surveyer Membres: Mgr Olivier Maurault, MM.Édouard Montpetit, Augustin Frigon, Théo-J.Lafrenière, Antonio Perrault, Olivier Lefebvre., L’hon.Léon-Mercier Gouin.Rédacteur en chef: Édouard Montpetit.Secrétaire: Armand Circé Trésorier: Lorenzo Brunotto PRIX DE L'ABONNEMENT ANNUEL Le Canada et les États-Unis $3.09 — Le numéro .75 cents Tous les autres pays $4.00 — Le numéro $1.00 La Rame Trimestrielle Canadienne parait quatre fois l’an: en mars, juin, septembre décembre.La Revue est accessible à la collaboration de tous les publicistes, spécialistes et hommes de profession; mais la Direction n’entend pas par l’insertion des articles assumer la responsabilité des idées émises.Tous les articles insérés donnent droit à une indemnité calculée par page de texte imprimée ou de graphiques.Les manuscrits ne seront pas rendus.La reproduction des articles publiés par la Revue est autorisée, à la condition de citer la source d’où ces articles proviennent et de faire tenir un exemplaire à la Revue.Il sera rendu compte de tout ouvrage dont il aura été envoyé un exemplaire à la Rédaction.Adresser toute communication pour les abonnements, publicité, collaboration etc.directement à: La Revue Trimestrielle Canadienne LAncaster 9208.1430, rue Saint-Denis.MONTREAL P mm s H E V U E TRIM ESTRIE LL E C A N ADI E N N E LE BON COMBUSTIBLE FAIT LE BON CHAUFFAGE Al Mj Pour dissiper les ennuis de la chauffe au charbon et obtenir un rendement maximum, employez des produits de qualité supérieure.Les anthracites gallois ef américains se recommandent pour leur haut pourcentage de carbone fixe.Nos charbons bitumineux présentent les mêmes avantages d'économie, ils offrent en outre cette parti-c u I a r i t é heureuse d’être manutentionnés proprement.Service d’urgence de 24 heures pour les huiles à chauffage.W MONGEAU & ROBERT CIE LIMITÉE 1600 est, rue Marie-Anne Tel.: AMherst 21311 II REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE L’UNIVERSITÉ de MONTRÉAL Comprend les facultés et écoles suivantes : fACULTES THÉOLOGIE ' DROIT MEDECINE - PHILOSOPHIE LETTRES SCIENCES CHIRURGIE DENTAIRE ECOLES POLYTECHNIQUE - PHARMACIE INSTITUT AGRICOLE D'OKA - SCIENCES SOCIALES Ecole des hautes Etudes commerciales OPTOMETRIE - MÉDECINE VÉTÉRINAIRE HYGIÈNE SOCIALE APPLIQUÉE TOURISME ?Pour tous renseignements, s’adresser au Secrétariat général 1265, rue St-Denis Montréal REVUE TRIMESTRIELLE CAX A DIEXXE III SECRÉTARIAT DE LA PROVINCE École des Hautes Études Commerciales Affiliée à l’Université de Montréal Préparant aux situations supérieures du commerce, de l’industrie et de la finance Bibliothèque économique.Musée commercial et industriel Décerne les diplômes de bachelier en sciences commerciales, licencié en sciences commerciales, de docteur en sciences commerciales et licencié en sciences comptables.Ce dernier diplôme donne droit d’admission dans l’Association des comptables agréés de la province de Québec (G.A.), l’Institut des comptables et auditeurs de la province de Québec (L.I.C.) et la Corporation des comptables publics de la province de Québec (C.P.A.) BOURSES DU GOUVERNEMENT Cours spéciaux réservés aux avocats, aux notaires et aux ingénieurs.COURS LIBRES DU SOIR: comptabilité théorique et pratique, opérations de banque, opérations d’assurance, correspondance anglaise et française, mathématiques financières, économie politique, droit civil, droit commercial, langues étrangères: italien, espagnol, allemand.Cours spéciaux préparatoires à la licence en sciences comptables.COURS PAR CORRESPONDANCE : comptabilité, français et anglais commercial, économie politique, droit civil, droit commercial, algèbre, etc.Pour tous renseignements, brochures, prospectus, inscriptions, etc., s’adresser au directeur.535, avenue Vi£er, Montréal IV ri:vue trimestrielle canadienne Appareils #> .-:de=.= Laboratoire PRIX MODÉRÉS et LIVRAISON PROMPTE Fisher Scientific Company Limited 904-910, rue Saint-Jacques MONTRÉAL Nous avons toujours en magasin un assortiment complet d’appareils de laboratoire pour l’ensen gnement des sciences.Une commande initiale vous convaincra de la haute qualité de notre marchandise. Revue Trimestrielle Canadienne \rt de l’ingénieur—Economie politique et sociale —Mathématique?Législation—Histoire—Statistique —Architecture—Sciences Hygiène—Industrie—Forêts—Finances—Transports.VOLUME XXVIII Mars — Juin Septembre Décembre 1 942 ASSOCIATION DES DIPLOMES DE POLYTECHNIQUE MONTRÉAL A TABLE DES MATIERES VOLUME XXVIII Art de l’Ingénieur.Problèmes sanitaires île l'Hôtellerie, par René C'yr.51 La Sécurité et « La Lai et le.s Règlements concernant Ica Chaudières à l'apeur et Ica antres Appareils sans Pression », par Pierre-Paul Vinet.164 “Better Light— Better Light Activity in H’ar Time”, par Léo Roy.314 Les Routes tie I’Afrique-Sud, par Charles D.Hérisson.,338 L’Equation de Combustion, par Boleslaw Szczeniowski.380 l'n Oscillateur linéaire et symétrique pour la Déviation d’un Faisceau Cathodique, par J.-C.Bernier .392 Théorie de l’Elasticité et Klasticimétrie, par Augusto Durelli.401 Contribution à l’Etude des Ciments magnésiens, par Louis Asselin.432 Etude du Béton avec Usage des Précontraintes, par C.-E.Campeau 445 Économie politique et sociale.A propos de l’Unité de Temps, par Maurice Danloux-Dumesnils.37 Enseignement et Influence économique, par Augustin Frigon.121 Force sociale et vieille Chanson, par Arthur Saint-Pierre.154 Le Caractère dans la Nation, par Edouard Montpetit.254 Une nouvelle Institution panaméricaine, par Pierre-Paul Langis., 324 Les Routes de l’Afrique-Sud, par Charles D.Hérisson.338 Enseignement.Enseignement et Influence économique, par Augustin Frigon.121 Le Caractère dans la Nation, par Edouard Montpetit.254 Forêts.Etude sur la Fonte des Semis de Conifères, par René Pomerleau .127 Géologie.Aperçu géologique des Laurentides de la Région de Montréal, par Pierre Mauffette.63 La Géologie de l'Amérique du Nord, par Maurice Danloux-Dumesnils 267 IV n K V r E T TU M E ST KIE LI.K ( ' A N A m K X N' K Histoire.Leibniz et l’Union ties Églises, pur Gérard Ally 16 Les M: riens Seigneur: s de Montréal, par Monseigneur Olivier Mau- ^ Le Fondateur de la Science du Mouvement: Gallileo-Gallilei-Linceo, par A.V.Wendling 294 Hygiène.Problèmes sanitaires de l'Hôtellerie, par Hené t yr ,ôl Mathématiques.Étude sur la Pseudo-Résolvante, par Jules Poivert .• • • • • î Les Fondements de la Géométrie euclidienne, par Thomas Greenwood 19.La Méthode axiomntique en Géométrie, par Thomas Greenwood Philosophie.Les Fondements de la Géométrie euclidienne, par Thomas Greenwood 195 I „ Méthode axiomatique en Géométrie, par Thomas Greenwood par soils Sciences.•\ propos de l’Unité tie Temps, par Maurice Danloux-Dumesnils Aperçu géologique -les l-aurentides de la Rég.on ,1e Montréal, Pierre Mauffette ’ , ., étude sur la Fonte ties Semis ,1e Conifères, par lie,Ut Pomerleau La Géologie ,1e l'Amérique du Nord, par Maunee Dan^-Du.^ Le Fondateur de la Science du Mouvement: Gall.leo-Galhlet-Lmeeo, par A.V.Wendling., 1 équation de Combustion, par Boleslaw Szezcn.owsk, .; ¦ Fn Oscillateur linéaire et symétrique pour La Déviation dun 1 a,s-ceau cathodique, par Jean-Charles Bermer • Théorie de F Élasticité et Élusticimétrie.par Augusto Durell, ¦ ¦ Contribution à l’Étude des Ciments magnés,ens par Lou.s Asselm .63 127 267 294 3S0 392 401 432 Revue des Livres.Revue des Livres.224,462 Vie de l’École et de l’Association.Vie de F École et de l’Association.100, 226, 463 Revue Trimestrielie Canadienne MONTRÉAL "DECEMBRE 1942 LA MÉTHODE AXIOMATIQUE EN GÉOMÉTRIE I.M conception de 1 axiomatique ;i profondément évolué ces derniers temps, provoquant ainsi dans les sciences d'importants développements techniques.Quant à son interprétation philosophique, elle a oscillé dès le début entre les positions extrêmes de I idéalisme et de l'empirisme.H les civilisations orientales nous ont légué un corps de faits mathématiques impressionnant, leurs connaissances no dépassaient gueic le niveau d abstractions et de généralisations, le plus souvent hâtives, de leurs expériences usuelles de computation et de men-suiation.< c n est qu avec les Grecs que ces connaissances furent élevées au plan de systématisations réfléchies, auxquelles les Pvtha-goriciens donnèrent les formes d'une vraie science.Dès lors, les mathématiques se développèrent selon les normes de la raison, tout en continuant à s'enrichir des dépouilles d'une abstraction large des caractères quantitatifs des choses.Or c'est l’idée confuse du nécessaire, sous le quadruple aspect de l’ontologique, du logique, du mathématique et du sensible, qui a nourri les discussions des écoles présocratiques.Ce furent ces controverses qui fournirent les éléments des analyses subtiles de Platon et d'Aristote sur la structure des mathématiques en général et de la géométrie en particulier: définitions, axiomes, postulats, normes de la démonstration, lois de la pensée, tous ces éléments étaient discutés et précisés par les penseurs de 354 liKVl'K TRIMESTlilELLE CANADIENNE l’Académie et du Lycée.L’entente pouvait être facile sur les fonctions de ces éléments, mais elle n’était pas aussi aisée quant à leur nature et leurs rapports exacts.En cherchant l'arithmétisation du monde de la pensée et des choses, Platon proposait de soumettre toutes les mathématiques aux lois du nombre.I/esprit plus analytique d’Aristote relevait les différences de nature entre les grandeurs et les nombres, entre le géométrique et l’arithmétique; et il insistait sur l'impossibilité d'utiliser comme principes premiers les axiomes du discret ou du continu, pour expliquer en même temps le déroulement nécessaire des théorèmes de toutes les branches des mathématiques.Seul le logique fournissait ce lien d’ensemble qui leur donnait une force concluante inéluctable.Nous avons ainsi une première lueur dans ces profondeurs conceptuelles, où la pensée tente de préciser les conditions de l’être mathématique.Mais les Alexandrins se détournèrent de ces spéculations pour illustrer magnifiquement, avec Eudide surtout et Apollonius, la valeur pratique des théories structurales élaborées par les Athéniens.C’est ainsi que la perfection de l’axiomatique euclidienne est restée un modèle du genre, et qu’elle a pu maintenir son exclusivité jusqu’au milieu du siècle dernier.Il est vrai que nous eûmes entretemps la géométrie analytique de Descartes, et le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz.Pourtant leurs auteurs considéraient ces découvertes comme des méthodes dont les éléments et la structure logique confirmaient les considérations théoriques et les modèles pratiques des anciens.Si l’analyse moderne posait sous un nouvel aspect les vieilles questions que les Grecs agitaient au sujet des rapports de l'arithmétique et de la géométrie, ou du discret et du continu, elle n’a pas eu l'intention ou l’ambition de créer une axiomatique spécifique.Ce n’est d’ailleurs qu’au dix-neuvième siècle qu’on entreprit la justification logique et l’axiomatisation des diverses branches de l’analyse.Cette quiétude trouve ses raisons dans 1 adéquation tacite qu’on avait toujours acceptée entre la géométrie euclidienne et l'expérience sensible, entre le nombre sous ses diverses formes et l’expression quantitative des phénomènes comme des besoins de la vie pratique.C’est ainsi que Kant a cru résoudre le problème de la connaissance mathématique, en réduisant le nombre et 1 étendue à des formes de notre entendement.Mais pour lui aussi, l’axiomatique des anciens était définitivement acquise et ne comportait pas comme telle des éléments de controverse. LA MKTHODE AXIOMATIQUE EX GÉOMÉTRIE 35Ô f "pst la découverte des géométries non-euclidiennes qui a posé d’une façon consciente la question de l’axiomatisation des mathématiques.La nécessite de justifier ces nouvelles théories, de les admettre dans le domaine des mathématiques sans faire violence à nos habitudes de penser quantitativement la réalité sensible, a provoqué tout un mouvement de recherches, qui dépassait bientôt les frontières de la géométrie pour s’étendre à toutes les branches des sciences exactes.Les mathématiciens modernes reprenaient a leur compte la met h ode anal vt ique de Platon allégée par la logique d’Aristote.Si une régression logique vers les principes avait établi sur des bases aussi solides la théorie grecque de la grandeur, une opération analogue appliquée aux diverses branches des mathématiques devrait manifester la structure formelle des théories nouvelles qui venaient enrichir nos connaissances scientifiques.C’est de ce mouvement que naquit l’axiomatique moderne.Disons cependant que cette axiomatique se révélait au début comme une simple technique, indépendante comme telle de toute spéculation philosophique.Ses résultats étaient toujours considérés par les mathématiciens comme par les philosophes, sous le double aspect de l’idéalisme et de l'empirisme.Les principes de chaque branche des mathématiques n’avaient pas changé de statut: ou bien leur nécessité et 1 impossibilité de leurs contraires étaient imposés par une sorte de droit divin; ou bien ces principes étaient des créations fie l'imagination pour rendre compte de l'expérience.De plus, seuls les mathématiques classiques bénéficiaient des chauds reflets de la réalité sensible: les doctrines nouvelles qui venaient enrichir la science d'une manière peu orthodoxe, comme les géométries non-euclidiennes par exemple, étaient philosophiquement reléguées dans les limbes d’une imagination dévoyée bien qu'heureuse.On espérait même que d’habiles transformations linguistiques, épaulées de manipulations mathématiques appropriées, les ramèneraient un jour dans le giron respectable des concepts classiques.Mais cet espoir était vain.L’étude des propriétés formelles et des applications concrètes de ces nouveaux éléments, n’a pas tardé à montrer que les notions qui se dégageaient de ces doctrines bizarres en apparence, possédaient en réalité un être propre qui les posait à titre égal à côté des concepts classiques dans le domaine élargi de la science.Lu même temps, les analogies multiples qui se manifestaient entre les diverses familles d’objets mathématiques, 35 G HK VI-K TRIM K ST RI KI,I.K ( ' A N AIM E \ N E sc voyaient érigées en théories de plus en plus générales.I.a géométrie métrique et la géométrie projective, tout on se délimitant nxiomatiquoinent dans leurs assiettes propres, se liaient en quelque façon pour laisser entrevoir les propriétés fondamentales de l'étendue.Kt celle-ci se trouvait soudain portée dans le domaine de l'analyse générale par l'opération de la théorie des groupes.De son côté, la théorie des équations algébriques s'affinait avec celle des corps algébriques et des champs, aboutissant par ascensions successives à la science nouvelle de l’algèbre abstraite.Avec ces simplifications pyramidales, on arrivait ainsi à la topologie et puis à la théorie des espaces abstraits, où seule pénètre la pensée dépouillée de toute image extensive.Que nous sommes loin de la géométrie euclidienne! Mais aussi, nous sommes plus près des conditions générales qui cimentent ensemble les exigences de l'esprit et les données multiples et toujours nouvelles de l'expérience.On se rend compte du travail d’organisation, de distinctions et de rapprochements qu’exigent toutes ces richesses.Il fallait axiomatiser chacune des nouvelles et des anciennes branches des mathématiques, afin de préciser une fois pour toutes les attributs de leurs êtres spécifiques, et de montrer formellement comment on peut passer de l'une à l'autre par l’adjonction ou l’élimination d’un ou de plusieurs postulats.Il fallait aussi raccorder ces axioma-tiques diverses pour en déterminer si possible la structure commune.( "est ici que la logique vint aider au succès de ce gros travail, après avoir elle-même opéré de nouvelles extensions dans ses détails.Dans toutes ces opérations, les problèmes techniques et les problèmes philosophiques s’entrecroisent souvent de façon troublante.Nous essayerons d'en dégager les contours essentiels, en parlant de l'axiomatisation de la géométrie.I.— Naître des matériaux oéomktriques Il est évident qu'en géométrie, comme dans toute autre science, on ne saurait tout définir et tout démontrer.( 'ar cette double opération comporte une réduction des éléments à définir ou à démontrer à d'autres éléments déjà connus.( >r on ne saurait continuer ce procédé à l'infini: d'où la nécessité d'accepter des élrnunts indé-finis.ïiiblrx et i/idciHunti'ublis en géométrie.Déjà Platon et Aristote admettaient à la base de cette science un certain nombre de notions K Rttsftii H MH «MS I.A METHODE AXIOMATIQUE EX GÉOMÉTRIE 357 primitives qu on ne définit pas, et de propositions premières rm'on pensée et dos principes plus spécifiques de lu logique des classe on est pratiquement forcé de recourir à des définitions nominales, ])ur lesquelles on réduit une notion à une combinaison logique duutics notions déjà définies ou acceptées comme primitives.On voit donc que ces définitions nominales rendent de grands services, tout en n'étant pas logiquement nécessaires, puisqu’on pourrait toujours introduire dans les raisonnements toute la suite des propositions quelles résument.Telle est, dans ses grandes lignes, l'armature formelle de la géométrie.Vovons-en de plus près certains détails.Kn ce qui concerne les concepts de la géométrie, qui servent de points d'appui aux raisonnements, nous en voyons deux types distincts: les notions primitives et les notions dérivées.Nous avons dit aussi que les notions primitives sont saisies par une intuition sensible ou rationnelle, sans pouvoir être définies à l’intérieur du système auquel on les intègre.Il reste qu’elles ne sont pas primitives dans un sens absolu; car on pourrait toujours les définir dans le discours universel, en les rapportant à des concepts appartenant à une science plus générale.Sans nous attacher à montrer les relations possibles d un groupe de notions primitives de la géométrie à la connaissance humaine en général, nous dirons cependant que 1 établissement d un système particulier de géométrie comporte indémontrables.m- uemoiiire pas.nos premières peuvent être saisies par une intu tion rationnelle ou sensible, ou mêmes décrites par rapport à un autre science.Quant aux secondes, elles énoncent des mlnt.im, t en quelque sorte ce ! finition pur postulat; ¦s indéfinissables et le Au moyen de ces deux genres d'éléments, indéfiniment des propositions nouvelles, au 'lits, on peut alors déduire répéter toutes celles qui sont nécessaire: comme un tel procédé occasionnerait de être même de à sa démonstration.Mai; pertes de temps, et peut- r.'INUM llPHion t t?11 x- erreurs involontaires dans fi et de la logique des relations.Ainsi, une propositi de la géométrie suppose la connaissance de toutes ce cèdent dans Tordre analytique; et pour la démonti répéter toutes celles qui sont nécessaires à sa démoi 35S REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE un choix souvent difficile d’indéfinissables.Nous verrons tout à l'heure les raisons d'ordre technique qui guident ce choix.Malgré le caractère formellement arbitraire des indéfinissables, qui permet d’en concevoir un grand nombre, il est intéressant de constater qu’en réalité leur nombre est assez restreint.11 s'est bien trouvé qu’Huntingdon ait pris l'idée de sphère comme primitive, mais d’habitude, ce sont des notions comme le point, la distance, l’ordre, le plan, la ligne ou des relations spéciales entre certains termes, qui servent d'indéfinissables.Quoi qu’il en soit, on peut remarquer déjà une différence entre ce que nous pourrions appeler des indéfinissables actifs et des indéfinissables pass fs.( es derniers sont amorphes, imprécis, de simples termes servant de support à des relations.D’habitude, ce sont les points qui jouent le rôle d'indéfinissables passifs; bien qu'Hilbert propose tout un groupe de notions ayant ces caractères.En effet, il est toujours possible de réduire les autres indéfinissables à des postulais bien établis entre des points.On peut ajouter cependant que ce type d'indéfinissables, (pii constituent en quelque sorte la matière de toute géométrie, est indispensable à l’établissement de cette science.Sans eux, les indéfinissables actifs n’auraient pas de matière commune à informer.Ces derniers, en effet, désignent des relations bien déterminées entre les indéfinissables passifs: ils posent une relation métrique, ou une relation ordinale, ou une congruence, ou toute autre forme géométrique qui pourra servir activement au développement de la science.Ainsi en est-il par exemple de la notion de distance en géométrie métrique, ou des diverses notions d’ordre en géométrie projective.Mais toutes les notions primitives, qu’elles soient actives ou passives, sont interdépendantes d'une far,-on ou d une autre.De sorte qu’en posant certaines d'entre elles comme premières, les autres peuvent être obtenues comme des concepts dérivés.En somme, les notions primitives peuvent toujours s'ordonner de manière à s’emboîter les unes dans les autres, et à pouvoir être conversement réductibles à quelques-unes d’entre elles.Ces réductions comportent des principes de choix auxquels nous ferons allusion un peu plus loin.En ce qui concerne les concepts dérivés de la géométrie, il semble plus facile de les caractériser du fait qu’ils sont formés simplement par des combinaisons de concepts primitifs, il suffit de lier ensemble des indéfinissables, d’après les lois de la pensée, I.A MÉTHODE AXIOM ATI QUE EX GÉOMÉTRIE 359 pour obtenir do nouveaux groupements de notes essentielles concentrées dans un terme unique, qui aident par là au développement et a I économie de la géométrie, il s’ensuit que les notions dérivées de cette science doivent être constructives; car elles contiennent la loi qui preside a leur formation.Mlles montrent ainsi la possibilité du défini: elles sont donc explicatives aussi bien que descriptives; car la construction de ces notions manifeste leur véritable essence.Kssayons de pénétrer plus avant dans le détail de ces notions.Mlles se présentent comme des combinaisons cohérentes d’indéfinissables, d axiomes, et parfois de concepts dérivés moins complexes déjà definis.Mais c’est I unité de ces combinaisons qui constitue le concept, car l'unité est un caractère essentiel de toute idée.Mue telle combinaison d’éléments divers est alors égalée à un terme, à un nom, au moyen d'une définition.Cette dernière doit donc etre considérée en géométrie comme une simple identité, dont le premier membre est formé par la combinaison en question, et le second membre par le nom qui doit résumer cette combinaison, bn peut voir par la que les définitions de la géométrie sont dos rh'fimtionx rchrcrsic.s en quelque sorte; ce sont des définitions nominales d un type original, car elles créent d'une certaine manière le défini.(juels sont les caractères de chacun des membres de ces définitions Il n y a pas de grande difficulté à en préciser le second membre, car le terme adopté est généralement une convention de langage; et sa liaison au premier membre, qui constitue le vrai concept, peut sembler accidentelle, souvent même arbitraire, bien qu on puisse découvrir les règles qui président au choix et à l'usage des termes conventionnels.Le premier membre de la définition présente un plus grand intérêt; car, si le choix du nom par lequel on désigne un concept peut bien être arbitraire, le concept lui-même que l'on convient d'exprimer par ce nom ne l'est pas.Ainsi, un être géométrique étant donné, et défiini, le terme et sa signification étant une fois adoptés, les postulats qu’on peut établir en formulant des rapports entre les divers concepts ne sont point le résultat d’un libre décret de l’esprit, ni dans leur essence, ni dans leur signification.Ils sont nécessairement conditionnés par I essence des termes considérés et l’expression qu’on a convenu de leur donner.C’est ce qui constitue toute la valeur des arguments en faveur de l'interprétation euclidienne des géométries non euclidiennes, et réciproquement.Ainsi donc, derrière les con- 3G0 H K VUE TRIM ESTIU E L LE C A X A 01E X X E eepts dérivés de la géométrie, il y a des êtres de raison jouissant de propriétés univoques, qui peuvent s'exprimer de différentes façons, et dont l’individualité conditionne certains rapports que nous ne pouvons pas détruire ou changer à notre guise.Les concepts dérivés de la géométrie ont donc un caractère dynamique; et cette antitypie rationnelle est nécessitée par deux conditions très importantes.Kn premier lieu, il faut que la combinaison d'éléments dont l’unité forme le concept dérivé ait une existence idéale: et nous entendons par là qu'il n’est point nécessaire que le concept géométrique corresponde à quelque réalité objective, actuellement existante, bn effet, comme toute l'essence et l’objectivité d'un concept dérivé consistent dans le fait de pouvoir être universellement pensé et transmissible, le jugement d'existence relatif à ce concept ne peut être qu'un jugement de possibilité, un jugement non contradictoire en ses termes.On doit pouvoir concevoir l’unité d'une combinaison d’éléments divers, autrement cette unité serait illusoire et n’aurait aucune espèce d’existence.C’est pourquoi tout concept géométrique dérivé implique soit un jugement d'existence (axiome ou proposition première), soit une démonstration d'existence (théorème existentiel).Ainsi, après avoir posé qu’il existe entre deux points une relation intrinsèque essentiellement quantitative, on pourra donner à cette relation le nom de «distance».De même, après avoir démontré qu’il existe une certaine ligne qui est le lieu des points dont la somme des distances à deux points donnés est constante, on pourra donner à cette ligne le nom cl ’«ellipse».Mais on ne peut former un polygone avec deux droites euclidiennes, car ces deux droites ne peuvent former qu’un seul angle.De même on ne saurait former un cercle carré, car l’essence du cercle est d’avoir tous les points de sa circonférence également éloignés du centre, ce qui ne saurait être le cas pour le carié, dont le centre de figure est inégalement distant des différents points de son périmètre.( >n peut voir, par ces deux derniers exemples, qu’un concept géométrique est impossible lorsqu’il peut être décomposé en deux concepts contradictoires entre eux.Le problème de la nature des concepts dérivés de la géométrie est donc intimement lié à celui de la nature des axiomes géométriques.Lu ce qui concerne la seconde condition de la validité des concepts dérivés, il faut que les différents éléments qui les composent se ramènent, par réduction, à des constatations empiriques. H mmmm LA MÉTHODE AXIOMATIQüE EN' GÉOMÉTRIE 361 l et te seconde rendition est d'autant plus évidente quelle est présupposée par la première, En effet, un concept dérivé doit être possible, e est-a-dire non contradictoire.Mais comment vérifier cette non-contradiction?Il faut finir par considérer des sujets singuliers dont les cléments du concept dérivé puissent être simultanément affirmés.Or, cela revient à dire qu’on aura à déterminer la signification de ces éléments; et pour y arriver il faut les réduire a des concepts plus simples, jusqu'à ce qu’on atteigne la constatation empirique.Il serait intéressant de citer le seul cas où l’on définit un concept qui n'existe pas: c est quand le concept est construit en vue d'une démonstration par l'absurde; car la démonstration consistera justement à faire voir l’impossibilité de cette notion.Un concept ainsi créé est illusoire, et se réduit à son signe sensible, au nom qui le représente.Aussi on ne saurait donner une vraie définition d’une telle notion; on se sert d’une définition verbale, il est vrai, mais à laquelle on montre que ne correspond aucun concept possible.Les considérations que nous venons de faire sur les concepts de la géométrie, simplifient les conséquences qu’on peut en tirer quant à la nature des axiomes (ou postulats) de cette science, formellement, ils apparaissent comme des hypothèses, comme des conventions établies pragmatiquement entre des indéfinissables.Et cependant, à y regarder de près, on s’aperçoit que leur caractère hypothétique n’est pas absolu.Ils sont conditionnés, en effet, par l’essence même des concepts divers qu'ils cherchent à définir indirectement, ('ertes, la méthodologie nous montre que l’axioma-tique est satisfaite si les postulats d’un système sont indépendants entre eux, et s’ils forment ensemble un tout cohérent.Mais le choix de ces postulats, le fait de pouvoir en enlever un à un système pour le remplacer par un autre, et d’obtenir ainsi une géométrie différente et tout aussi cohérente, ne saurait s’expliquer par un acte arbitraire de l'imagination, il faudrait donc pénétrer plus profondément dans la réalité des choses, pour la justifier et pour expliquer la cohérence manifestée par un système d’axiomes.("est le parallélisme entre la pensée et l’être qui rend compte de cette cohérence.Si des objets géométriques différents ne conditionnaient pas des groupes d’axiomes incompatibles dans leurs détails, le principe de contradiction aurait invalidé la construction et l'utilisation de systèmes géométriques différents.Du point de vue psychologique, ces objets ont servi de points de repères dans .% / üiti ., . 362 liK VI'K TRIMESTRIELLE CANADIENNE l’établissement de leurs axiomes: on ne saurait expliquer autrement d’une manière satisfaisante le processus de leur invention.Il est vrai qu’une fois ces axiomes établis, le mathématicien se hâte d’oublier les origines épistémologiques aussi bien que les étapes psychologiques qui l’ont porté au seuil du formalisme.Mais cela n’est pas une raison pour nier les conséquences philosophiques qui se dégagent de ces origines et de ces étapes.II.— La formalisation de la géométrie Si le choix des notions et des propositions primitives d’un système géométrique est conditionné par les objets mêmes qui se trouvent devant l'esprit, il faut reconnaître que son axiomatisation est un procédé de systématisation plutôt que d’invention.Or dans cet agencement verbal et ordinal de concepts et de jugements, il est clair que des normes logiques doivent présider à l’activité psychologique.Ces lois doivent satisfaire un code bien simple: du moment qu'il ne s'agit pas de construire ou de créer des être mathématiques, mais bien de les caractériser, l’esprit doit essayer tout à tour les diverses combinaisons qui peuvent lui donner ce résultat.Et la meilleure sera celle dont les éléments formeront un groupe de postulats compatibles et indépendants, tout en spécifiant univoquement les êtres qu’ils qualifient.Voyons quels doivent être les caractères généraux de ce groupe.Disons tout d'abord que ces caractères ne seront pas posés arbitrairement: ils résultent de la comparaison d’axiomatisations diverses d'un même groupe d'êtres géométriques, ou des systématisations de divers groupes d'êtres géométriques.Et nous avons dit que la première opération à faire dans chaque cas, c'est l’analyse d’un corps de vérités, ce qui donne par réductions successives, des notions et des propositions primitives.La première qualité d'un groupe d’axiomes, c’est sa coherence: ces axiomes doivent être compatibles entre eux pour éviter des contradictions; et il est entendu que cette compatibilité plonge ses racines dans la convenance ultime des termes qu'ils lient ensemble.La cohérence peut être éprouvée par deux méthodes: la première est intuitive et vise à donner une interprétation concrète du système, en vertu du principe que tout ce qui est réel est possible.La seconde est logique: une fois admise la cohérence des notions et des propo- I- A MÉTHODE AXIOM ATI QUE EX GÉOMÉTRIE 3G3 sitions premières d’une théorie, on cherche à donner des symboles non-définis d’une nouvelle théorie une interprétation fondée sur la première.On voit que la méthode logique est basée en dernière analyse sur la compatibilité intuitivement éprouvée du système original, et non point, comme le néo-positivisme le prétend, sur les conventions soi-disant arbitraires de la logistique.Une importante question se pose ici, que nous ne faisons qu’indiquer.Est-il possible de prouver directement la non-contradiction d’un système d'axiomes?Hilbert a essayé de le faire pour les fondements de l'arithmétique, mais sans succès comme on pouvait s’y attendre.C’est que la contradiction ou la dépendance de notions ou de propositions peut se démontrer par un raisonnement apodictique; tandis que la non-contradiction exige des constatations assertoriqucs.Cette distinction, d'ailleurs, vient appuyer la thèse de l’origine empirique de nos connaissances, et du fondement ontologique île tout raisonnement et de toute construction mathématique.Un second lieu, les éléments d'un système géométrique doivent être relativement indépendants les uns des autres; sans quoi, il y en aurait qui ne seraient pas primitifs.Cela revient à dire qu’aucun de ces éléments ne doit être définissable ou démontrable au moyen des autres.Bien entendu, il ne s’agit ici que des notions primitives et des axiomes du système.Pour éprouver l’indépendance d’un élément du groupe par rapport aux autres, on change son interprétation sans toucher à celle des autres: si les conséquences tirées sont compatibles avec celles du groupe original, c’est que l’élément différemment interprété est dépendant des autres; dans le cas contraire, il est vraiment premier.En appliquant cette méthode au postulat des parallèles d’Euclide, on a pu trouver quels postulats lui sont équivalents, et quels postulats sont indépendants de lui et capables de former.d'autres systèmes.Il va sans dire qu’il 11e faut pas confondre compatibilité des éléments entre eux, et compatibilité d'un groupe d'éléments avec un corps donné de conséquences.La compatibilité des éléments entre eux est liée à la cohérence ou à la consistance du groupe; tandis que la compatibilité de groupes d’éléments divers avec un même corps de conséquences, est liée à la dépendance de certains d’entre eux par rapport aux autres.Une qualité connexe de l’indépendance, est celle de Y irréductibilité des éléments d'1111 groupe.Celle-ci caractérise l'ensemble 304 li K V C K TRI M EST UIE EL E C A .V A » I E X V E des éléments du groupe; tandis que l'indépendance convient à pîiacMiii deux pris séparément.Ainsi, pour établir qu'un groupe de notions primitives est irréductible, on doit trouver pour chacune délies une interprétation qui vérifie le système de postulats qui les spécifient, et qui continue à le vérifier quand on change le sens de 1 une ou I autre d entre elles, ht pour établir qu’un groupe de postulats est irréductible, on doit trouver pour chacun d'eux une interpretation des symboles non-definis, qui vérifie tout le groupe par la permanence de ses conséquences.On voit, par ces indications sur l’indépendance et l'irréductibilité des éléments d’un système, qu on peut établir une distinction entre l’indépendance formelle absolue de ces éléments entre eux; et l’indépendance formelle ordonne! d un element de tout un système par rapport aux éléments qui le précèdent.A ces trois caractères formels vient s ajouter 1 indétermination rien fl intuitif ne doit s attacher aux éléments d'un svstème.Chacun d'eux doit être capable de plusieurs significations possibles à 1 intérieur du système.Ainsi les notions et les propositions primitives sont analogues respectivement à des symboles et à de s schèmes qui permettent par des déterminations diverses mais cohérentes, la déduction d'un même groupe de vérités.Cette indétermination, d'autre part, implique que les éléments d'un système sont formellement conventionnels', comme nous l’avons déjà expliqué, ils ne sont indéfinissables et indémontrables qu’à l'intérieur du système, mais non point absolument.Il faut encore cpi un groupe d éléments soit nécessaire et suffisant par lui-même.La nécessité convient à chacun d'eux par rapport au tout, en ce sens que chaque élément est indispensable pour Obtenir 1 ensemble de vérités qui découlent du groupe tout entier.> il ne I était pas, c est qu'alors cet élément serait dépendant des autres, et donc inutile comme tel au système.La suffisance est une qualité correlative a la nécessité au sens formel.Kilo exige que le système comprenne tout les éléments nécessaires, et rien qu’eux, pour 1 obtention de toutes ses conséquences.( 'elles-ci étant connues, on peut établir leurs éléments primitifs par analyse régressive; utilisant ces cléments déductivement, on doit arriver à ces mêmes consequences.,vi cm n'obtient pas ce résultat, c'est que l’analyse a été faite imparfaitement, et que les éléments obtenus ne sont pas suffisants.Diverses méthodes d'ajustement peuvent être alors utilisées pour réaliser la suffisance des éléments primitifs. I.A MÉTHODE AXIOM ATI QUE EX GÉOMÉTRIE 365 \ oiei enfin les conditions d'économie et de simplicité fini doivent caractériser un système axiomatique.Par économie, il faut entendre que le nombre des éléments d’un système doit être aussi restreint que possible, ( n groupe d’éléments peut être suffisant sans être restreint : il faut donc s'efforcer par des combinaisons et des ajustements appropriés, à en réduire le nombre au minimum sans nuire à la clarté ou à l’aisance des déductions.Disons cependant, que cette condition d'économie n'est pas impérative: si elle porte atteinte à la clarté et à l’aisance des démonstrations, beaucoup la laissent de côté, pour ne considérer que la nécessité et la suffisance des éléments.Un peut donc considérer l'économie comme une condition esthétique si l'on veut, mais qui n'est pas à dédaigner.Quant à la simplicité, elle est rattachée à l’économie, tout en la dépassant: elle affecte en effet toutes les autres conditions du système, tout en n’étant pas absolument nécessaire.C'est une condition difficile à définir d’une manière satisfaisante, en raison de sa nature même, mais que chacun comprend.Xous dirons seulement qu’on peut distinguer la simplicité intrinsèque d'un système, qui s'attache au sens et aux relations de scs éléments pris dans leurs rapports formels; et la simplicité extrinsèque qui affecte les interprétations extérieures, ou les applications pratiques qu'on peut donner d'un groupe d'éléments primitifs.Ayant précisé les caractères généraux d’un groupe d’axiomes, il nous reste à envisager une double question à leur endroit.La première est formelle et tient aux relations possibles des groupes entre eux.L’analyse de systèmes axiomatiques concernant des domaines différents des mathématiques, ou bien même diverses branches de la géométrie, révèle des identités structurales inévitables, qui font soupçonner la possibilité tie quelque plan général abstrait dont chaque système serait un aspect particulier.Au point d’abstraction où l’on est arrivé en ce moment, on pourrait même essayer d’esquisser les caractères de ce plan d’ensemble, sans dire cependant qu’il soit définitif ou absolu.Kn attendant, en admettant sa possibilité, on peut se demander s'il n'existerait pas quelque hiérarchie entre ce plan d'ensemble et un système particulier d’axiomes.< )r cette hiérarchie existe bien ; on peut montrer qu’en précisant l'interprétation de ce plan d'ensemble par quelques postulats et définitions supplémentaires, ou aboutit à un système formellement semblable mais moins général que le premier; et ce nouveau système 366 REVEE TRIMESTRIELLE CANADIENNE peut être particularisé à son tour par des éléments encore moins généraux.On peut continuer cette particularisation jusqu’à ce qu’on obtienne un groupe d’axiomes immédiatement applicable à des cas concrets.Nous avons ainsi dans le domaine de l'axiomatisation, un plan parallèle à l'enchaînement des idées dans l’ordre conceptuel tel que le montre l’Arbre de Porphyre par exemple.De cette situation, on peut tirer des conclusions intéressantes sur la primauté de l’ontologie, comme fondement de l'organisation structurale et de la systématisation des diverses branches des mathématiques.Ces considérations permettent d'introduire une importante distinction entre postulats génériques et postulats spécifiques, en appliquant cette distinction soit entre un système mathématique général et un système géométrique, soit entre des systèmes géométriques de généralité différente.Les premiers expriment des combinaisons ou des relations universelles entre des éléments communs à plusieurs systèmes, et possèdent ainsi une grande extension; tandis que les seconds déterminent des objets ou des constructions qui serrent plus intimement les êtres mathématiques qui les sous-tendent.Dans la construction d'un système géométrique, on doit alors faire attention pour indiquer les uns et les autres, afin de laisser ouverte la possibilité d'établir un système différant par le simple changement de postulats spécifiques.Et cette distinction est surtout effective dans le domaine méthodologique; car elle permet de mieux combiner et ordonner les éléments d'un système, et d'introduire plus de rigueur dans les démonstrations.La seconde question concerne l’application concrète d’un système abstrait d'éléments mathématiques en général, ou géométriques en particulier.En tenant compte des controverses entre formalistes et intuitionnistes, il semble que la cohérence logique d'un groupe d’axiomes ne suffit pas pour en expliquer la valeur.Elle n'est pas plus justifiée fondamentalement par l'établissement d'une épreuve formelle qui l'interprète en fonction d'un groupe moins général.Il faut donc se rabattre sur une interprétation concrète de ce système, si général soit-il.Même si cette interprétation n’est jias toujours immédiate, il suffit de la réaliser par degrés successifs, en réduisant continuellement l’extension de l’application du groupe original.On en revient ainsi à reconnaître l’origine empirique des mathématiques, puisque l’épreuve ultime de la valeur LA MÉTHODE AXIOM ATI QUE EN GÉOMÉTRIE 367 d’un système axiomatique consiste à montrer comment nos intuitions peuvent s’y ajuster.On voit aussi que cette épreuve empirique, pourrait-on dire, de la valeur d’un système augmente d’autant l’importance des qualités qu’il exhibe, et en particulier de la cohérence et de l’indépendance de ses éléments.Cette union du rationnel et du sensible dans les profondeurs de l’être mathématique suggère à son tour une double conséquence.La première, c’est la catégoricilé que l’on doit reconnaître à tout système axiomatique capable de deux ou plusieurs interprétations isomorphes.Il est à remarquer ici que cette catégoricité ne se manifeste qu'après le traitement hypothétique d’un système axiomatique; tandis qu’on l’avait immédiatement appliquée aux systèmes classiques de la géométrie et de l’arithmétique, sans une analyse préalable complète de ses implications mathématiques et méthodologiques.C’est d’ailleurs pourquoi, dans la construction inventive d’un système axiomatique, il convient de commencer par l’établissement hypothétique plutôt que catégorique, de ses éléments primitifs.La seconde conséquence se rapporte à l’unité des mathématiques.Bien qu’on parle de ces sciences au pluriel, toutes leurs branches s’unissent intimement dans leur fondement commun qui est formé par les catégories de la quantité et de la relation.Si l’axiomatisation de la géométrie met en relief certains aspects de ces deux catégories, elle n’a pas un caractère absolu par elle-même: sa structure et son interprétation abstraite font ressortir le pouvoir unifiant des catégories de la quantité et de la relation, qui sont elles-mêmes des accidents fondés sur l’être en dernière analyse.C’est pourquoi on peut insister sur l’application extensive de l’axiomatisation de la géométrie, et sur sa justification intensive, qui la rattache en quelque manière à la logique et à l’ontologie.11 nous reste à discuter les rapports de la logique et de l’axio-matique, tant au point de vue de la formalisation de la géométrie que dans un sens général.11 est naturel que la logique comme telle doive participer à la systématisation de la géométrie: c’est elle qui lui fournit, en effet, les règles formelles de la déduction et les principes derniers des divers caractères que nous avons déjà reconnus à tout groupe d’axiomes.Plus spécialement, la logique prête à toute axiomatique certaines lois opératoires qui permettent son développement synthétique et qui actualisent la dynamisme de ses éléments.Ces lois ne sont pas formelles; mais elles énoncent 3 (iS H K V n: T KI M K.STK II : I.I.K C A \ ADI E X X E des modes d operation ou de dérivation des expressions contenant des symboles.J/une est le principe il'inférence, en vertu duquel, si l'on affirme une implication et un antécédent, il est permis de conclure à l’assertion du conséquent.L autre est le principe de substitution, en vertu duquel on peut mettre à la place d'un signe ou d'un groupe de signes, des symboles d'entités logiques analogues, ou des cas particuliers de ces signes.( 'es deux principes sont justifiables en termes de la psychologie et de l'ontologie.Nous n’avons pas à expliquer ici cette justification, qui se rapporte à la théorie générale des signes et de la symbolisât ion ; nous nous contenterons de dire qu’elle peut se faire par I analyse de la forme apofantique S-est-P au point de vite structural et ontologique.Plus encore: la logique impose à la géométrie systématisée, comme à toute axiomatique d'ailleurs, les matériaux mêmes de son échafaudage.< 'es matériaux se ramènent à la notion de élusse, d appurtenance à une classe, pour les éléments, d’inclusion à une classe, pour les classes, et de conn spondance eut re éléments de classes diiîerentes.Ces quatre notions sont purement formelles, tout en ayant leur fondement dans la considération de l’être également; et comme telles, elles font l'objet de la logique formelle, qui peut bâtir pour leur satisfaction une doctrine complexe de relations et d applications.Par rapport à ces dernières, la théorie de ces notions paraît comme une simple structure, comme un squelette qui ferait presque penser que le raisonnement travaille à vide en s occupant des mathématiques.Mais ce n’est point là une raison pour confondre les matériaux de l'échafaudage avec ceux dont on I entoure, et pour lesquels il a été établi lui-même.< )r c'est l’erreur que commet la logistique interprétée par Russell et Whitehead, qui enseignent la continuité de la logique et des mathématiques.L assimilation de ces deux disciplines, à notre sens, résulte de la confusion entre la présentation des mathématiques et leur nature intime.Si l'invention et la systématisation sont les deux procédés irréductibles de la connaissance mathématique, ils ne sauraient être assimilés à leur objet propre.Ainsi, l'exposition logique de la géométrie constitue bien un excellent moyen pour I étude de cette science: mais elle en fait souvent perdre de vue les implications essentielles.Le fait de connaître les notions et les propositions primitives d'un système géométrique, ainsi que les procédés de déduction qui permettent de le développer, ne suffit LA MÉTHODE AXIOM ATI QUE EN GÉOMÉTRIE 369 pas pour prétendre à la compréhension ou à la connaissance complète de ce système.On ne peut se faire une idée exacte d’une géométrie qu'après en avoir parcouru tous les détails et l’avoir contemplée d'en haut; car c’est plutôt la fin que le commencement d’une théorie qui donne la clef de sa signification véritable.Ainsi, la présentation de l'axiomatique d’une géométrie nouvelle ne révèle pas toujours la façon dont son auteur y est parvenu; de sorte qu’on arrive parfois à s’étonner de la puissance du raisonnement qu’il y manifeste.Or, dans la plupart des cas, ces résultats sont obtenus non point par un effort déductif continu, mais plutôt par l’élan créateur des facultés intuitives.Aussi pourrait-on soutenir que des travaux hautement déductifs, comme les Fondements de la Géométrie de Hilbert par exemple, n'auraient jamais vu le jour si leur auteur n’était guidé dans son exposition par une certaine intuition de l’aspect général que doivent avoir ses résultats.Le rôle indispensable de la logique formelle dans la présentation des mathématiques no saurait donc comporter l’assimilation do ces deux disciplines; et d’autant plus que les opérations logiques ne nous éclairent nullement sur leur contenu qui seul les rend possibles.Russell lui-même a vu cette difficulté lorsqu'il a reconnu que sa méthode est impuissante à déterminer la nature des éléments constitutifs d’une proposition logique.Et il ne saurait en être autrement: quel que soit la nombre des relations amassées les unes sur les autres, cette construction squelettique ne définirait jamais l'essence des termes ultimes de ces relations.Ce serait donc restreindre arbitrairement la signification de la géométrie en particulier, en l’assimilant à la logique considérée comme une science des structures.L'étude des notions géométriques, indépendamment de leur enrégimentation dans un système déductif, doit être poursuivie sur une piste qui ne se confond pas toujours avec celle que nous ont tracée les logisticiens.C’est pourquoi les difficultés (pi'il faut surmonter dans l’exposition logique de l'arithmétique se compliquent davantage lorsqu’on cherche à intégrer la géométrie dans un système parfaitement déductif.Aussi tous les meilleurs efforts pour prouver l’identité de la logique et des mathématiques sont voués à un échec certain.A plus forte raison, la déduction ne saurait être absolue: elle ne peut être que circulaire.Comme disait Gratrv, la prétention à vouloir tout démontrer provient d’un vice profond de l’esprit qui se croit centre, auteur, point de départ et cause première de la 370 H E V C E TRIMESTRIELLE CA X A DIE X X E vérité, dont il n'est cependant fine le témoin, ("est d’ailleurs cette impossibilité de la déduction absolue (pii permet la variété de systèmes géométriques qui enrichissent la science, et en général, la diversité des axiomatiques qui fondent les différentes branches des mathématiques.Kt cette impossibilité trouve en quelque sorte son corollaire, dans la part indispensable de l'intuition sensible et rationnelle dans tout travail inventif ou systématique relatif à ces sciences.Qu on nous permette ici de résumer les étapes de la formalisation de la géométrie: il) analyse d un corps de vérités graduellement obtenues a travers I histoire: ‘2) distinction première entre les concepts et les propositions à leur sujet; (3) réduction de ces concepts et de ces propositions à des éléments primitifs; (4) distinction entre indéfinissables passifs et actifs, et entre concepts premiers et dérivés, ces derniers ayant une relation intime avec les propositions qu’ils résument: (ô) hiérarchisation des postulats, et distinction entre postulats spécifiques et génériques; 16) groupement des postulats en systèmes distincts, manifestant leur cohérence, leur indépendance, leur irréductibilité, leur indétermination, leur nécessité, leur suffisance, leur simplicité, leur économie et leur catégoiicité; (7) expression de tout système en termes de classes avec leurs relations fondamentales; (8) utilisation des principes formels et des règles opératoires de la déduction; (fl) développement synthétique du système géométrique.III.r.TAliLLSSEMEXT 01 SVSTÈ.MES n'AXIO.MES \ oyons maintenant comment ces considérations théoriques trouvent leur application dans des systèmes déterminés d'axiomes.Disons tout de suite que ces systèmes ont historiquement précédé toute théorie de leur élaboration; et que, par conséquent, ils se sont développés selon des besoins qui relèvent plutôt de l'invention mathématique et des conditions des divers problèmes considérés par les savants.D un point de vue théorique, cependant, nous pouvons envisager deux manières d’établir des systèmes d’axiomes en géométrie: 1 une est de partir de systèmes particuliers, et de généraliser au fur et a mesure par la suppression de postulats spécifiques; l’autre est de partir d un système d axiomes très généraux, et de descendre I- A MÉTHODE AXIOM ATI QUE EX GÉOMÉTRIE 371 ;i dos systèmes particuliers en ajoutant les propositions qu’il faut a chaque palier.Pour illustrer les considérations faites jusqu'ici, il nous suffira t‘.'VI/-: 0.79 -f a) (Ai -f As) 1 lu i il t roduisant la videur de n à l'aide des équations 1 2 ,on t rouve après simplifient ion : 1 79 lu I - - '-À-t) 7 21/1 Les valeurs I: t, //, I: », « étant liées par 1 1 ’) et (2) on jicut toujours éliminer deux d'entre eux et obtenir ainsi /.en fonction de n'importo quelle paire de ces quatre valeurs.Four nous il est intéressant d'exprimer ’/.en fonction de /¦ x et ( Ml.395 + a\" 0.79 + a) 0.395 i 0.79 + a X + 0.21 11.395 X + (-+Ï1+] \0.79 + a/ J 21 ().n y constate aussi la délocalisation du spot lorsqu'il s'éloigne de la position d’équilibre qu'il avait quand la mise au point a été faite.La tension de balayage était bien linéaire, mais appliquée asymétriquement aux plateaux voisins de l’anode; la sensibilité de déviation verticale était donc progressivement diminuée vers la gauche dig.G) et augmentée vers la droite.L oseillogn t de la fig.7, montre l’absence de délocalisation du spot et de déformation trapézoïdale après correction par l’application symétrique des tensions de déviation.Le retour du spot doit aussi se faire très rapidement pour ne pas entacher l’oscillogramme par la trace de retour dig.S.).KinritE 7 Absence de défi irma t ion t rapé/.iiïdalc et de d se charge, la chute Ibi décroît d'autant; les variations de tension entre K et I sont donc égales et opposées ;i celles de < .b output entre I, et h est transmis à A 1 et P> par le condensateur de couplage ( \r •> qui élimine la composante continue.On retrouve au schéma de l'oscillateur complet dig.10), les deux oscillateurs élémentaires décrits ci-haut; cependant, pour en assurer le svnchronismo, le déclenchement de I •< est effectué par une impulsion provenant de la décharge do < i.Le primaire P 2 et 1 uniformité d (‘clairement du réseau de la fig.3.!.-('.Bkhnikk, Prnfi ssi ur ii l'fJcoh Polytechnique. THÉORIE DE L’ÉLASTICITÉ ET ÉLASTICIMÉTRIE 1.Ixikodcc tion Il me semble quo l'on peut reconnaître trois états successifs dans le développement de la connaissance de la distribution des tensions dans les corps soumis à des charges.( >n peut appeler le premier, état vniïffiriquc ou de grossière approximation.< >n arrive à lui le plus souvent par une certaine intuition primaire, ou par des expériences grossières.Le deuxième état dans le développement de la connaissance est celui du raisonnement mathématique, ("est celui de la théorie th l'élasticité.Avec des formules on peut calculer la distribution des tensions.Ce deuxième état implique un progrès considérable sur le premier, non seulement parce qu’il est plus rigoureux, mais surtout parce que les théories '(prévoient)), les théories donnent des lois générales et permettent ainsi d'avancer les connaissances.('e deuxième état cependant ne saurait être définitif.Les théories n’ont qu'un but, connaître ce qui se passe dans la réalité.( "est donc la réalité, dans ce cas la matière elle-même, cpti va prononcer le dernier mot.Le troisième état est celui des expériences.On pourrait l’appeler état de la mesure de l’élasticité, ou de Vélarticiini'tr/i.Il s’agit de trois «étapes» et de trois «états», parce (pie c'est dans cet ordre qu’ils sont, apparus clans l'histoire do la connaissance, et parce que, à un certain moment, ils se sont dans une certaine mesure, «stabilisés», chaque état s'efforçant de prédominer sur l'autre.< )n pourrait dire, il me semble, que, dans une certaine mesure, la science française a accentué le deuxième état, tandis (pie la science américaine est en train d'accentuer le troisième.( >n commence à avoir aujourd'hui, une idée plus synthétique de ces trois états du développement de la connaissance.< >n commence, et je crois qu'on le fait avec justice, à regarder ces trois états comme trois pas.Ils sont venus un après l’autre dans l'histoire, parce que c'était dans la nature même des choses que l'intuition empirique devait venir avant le raisonnement, et celui-ci avant le contrôle final de l’expérience. 4(12 K I : \ I K 'i KIM KSI liil.i.i I.( AN \ I » 11.N \ !.•’ i f ; i • n k I ( 'harge in lô) à une distance x = a, figure 4.la lionne ; v J U K \ I I : T Kl M I .ST It 11.1.1.1 AN \ 111 i.N M Il lli tandis uur la valeur maxima, sur l'axe de symétrie pour le meme plan est, d’après Bottssinesq: r, (I.SI1I |* c’est-à-dire 60' ; plus grande.Par ailleurs la tension au point < ‘ d’après la formule empirique est Zj O.ô P et selon la théorie elle n est que r (I.(l.sti P.Par contre pour les points plus éloignés, la première formule donne des valeurs titilles, tandis que la deuxième donne des valeurs relativement importantes.2a tension norrr.a.e ç\ 0 8|9P^" 008ÊP IOI KB I I tistribution (les tensions normales 5, sur un plan situé à une distance au bord élude il In moitié de la largeur de la zone mmprimée Sedation empirique et solution théorique.IIP fil.As TtrlMK 1 Kl I: Pa théorie de l’élasticité cependant est caractérisée par deux conditions générales: a elle est Pasee sur certaines hypotheses, elle a donc besoin d’être contrôlée: b) la plupart îles fois elle réalise des états de charge idéals, pour des corps avec des formes idéales.Pa mesure dans laquelle ces conditions idéales sont remplies dans la pratique, doit être contrôlée aussi.Pa théorie de l’élasticité appelle l’élasticimétrie comme un complément indispensable.P’élasticimétrie permettra le contrôle des hypothèses fondamentales de ha théorie: le contrôle de la légitimité des simplifications introduites dans les tonnes des pieces et la façon d appliquer les charges; elle permettra enfin de résoudre des cas (pie le calcul théorique n a pas pu attaquer parce qti ils sont trop compliques.P’élast icimét tic comprend toutes les méthodes experimentales qui permettent de mesurer les tensions ou les déformations, l-.n general la plupart de ces méthodes élastieimétriques mesurent des déforma- TIIKOlUh DK i.'ki.astmitk kt ki.ASTICIMKTUI k 407 I i < > 11 -.et c’est en partant « I < • ~ < 1('forma t ions quo Inn obtient les ten-ions mi contraintes.( )n petit faire huit g .>s principaux avec ces méthodes: 1) quadrillages imprimés ou dessinés sur la surface; 2) appareils mécaniques: 3) appareils électriques; 4) photoélastici-métric; 5) v(*rnis fragile-: (i) rayons X : 7) appareils acoustiques: s - interféromètres.I ) I.a méthode la plus simple et la plus intuitive est celle qui cmisiste à dessiner sur la surface du corps non chargé, un quadrillage de lianes.l’ne fois la charge appliquée au corps, la séparation des lianes n’est plus constante.Il suffit de mesurer les changements de distatic* pour connaître la déformation.< >n a utilisé cette méthode tout d'abord avec des modèles en caoutchouc parce (pie les déformations du caoutchouc .-ont grandes et faciles à mesurer.I.a figure 4.\ montre tin quadrillage dessiné sur une feuille en caoutchouc avant l’application de la charge.La distance entre les lignes petit être de l’ordre d’un demi pouce.I.a même figure montre la déformation du quadrillage comme conséquence de l’application de la charge.I n cercle se transforme en ellipse.(a) (M Kim hk 4a (il) Ouadrillage dessiné sur une feuille de caoutchouc mm chargée.— (b) Après l’:i[>î>lic:it ion de la charge le quadrillage se déforme et un cercle se transforme en ellipse.4 ins HI VI K T It I M KS TH I K U.K I A X ADI K X X I Dernièrement on :i perfectionné beaucoup celte méthode.Au lieu de faire des modèles en caoutchouc on dépose une pellicule photographique sur la surlace des corps a essayer, et on imprime au moyen d'un négatif le quadrillage voulu, qui peut être rectangulaire ou polaire et dont les lignes peuvent être aussi proches que 0.01 de pouce.Apres l'application de la charge on mesure le changement de distance entre les lignes au moyen d'un cathétomètre, ou d'un microscope, ou bien on photographie le modèle déformé et on agrandit la photographie.I.a figure 415 montre une éprouvette de traction essayée jusqu'à la rupture, avec le quadrillage rectangulaire imprimé sur la surface.l'im un lu I.a maille restangiilaire imprimer photographiquement sur la surfaci de l'éprouvette de traction a une distance de O.O.V' entre lignes Obtenu par Brewer et (llasscn (23).¦>,.Les déformations dans les mu rages sont souvent de l’ordre de un dix-millième de pouce: quelquefois, pour les modèles, de l'ordre de un cent-millième de pouce ou moins.Les appareils mécaniques ne font en essence, (pie multiplier celle déformation pour qu'elle suit plus facile à voir.Le- « 11 uggenbergers», .LL, pm exemple, multiplient environ 1000 fois la déformation réelle I ig.•>’.Quelquefois la multiplication est faite par des moyens optiques: un rayon de lumière est réfléchi par un miroir dont le mouvement est proportionnel a la deformation.1 TH KOHI K DK I.’ÉLASTI C'ITK KT KI.ASTK I.MKTKIK 401» ad ¦ I' 2Q.S ecKe !e qradus e Fine nu ."> ¦ laugc mécanique pour déformations, de IIujrKenbei'Ker.[.'agrandissement, III II- , donné par j^y -|~ , est de l'ordre de 1000 !¦ iis la variation de longueur entre \ et H.10 OU 20 r 11 ne suffit pas, eu général, île faire tint* .seule mesure avec l’cx-tensomètre.jtour connaître l'état de tension au point.Si l'on connaît la direction des tensions principales, il faut au moins deux mesures, une suivant chaque direction principale.Il en faut au moins trois si l’on ne connaît pas ces directions.Le problème consiste à déterminer l'ellipse des tensions, ou celle des déformations.Soit (I (figure ôA) le point où l’on veut connaître l’état de tension.(") FtUt'HE ûa (« ‘a) Pour connaître l'état «le tension en un point il faut mesurer le> déformations suivant au moins trni- directions passant par le point, -(b) Fllipse des déformation'.I.es axe- de l'ellipse sont les directions des tensions principales. UK VI h ! iilMh-l Kli.I.I.I.i A \ A 1)1 KWI- til) II l’:uit placer 1 '< xtensometre successivement dims les directions A-A, B-B et ('-(' par exemple, et mesurer les déplacements A/, somètre.< )n peut représenter les valeurs obtenues à partir de la circonférence et on obtient ainsi, point par point, l'ellipse (figure ÛAIi) représentée directement dans la figure 4A.Les axes de l’ellipse sont les directions des tensions et des déformations principales.Les valeurs des déformations principales sont = , et ¦ Les valeurs des tensions principales sont données par: m étant l'inverse du coefficient de Poisson.: Les appareils électriques à, li sont basés sur le principe du changement produit dans la résistance d'un conducteur par son changement de longueur (Fig.Gu * tn peut utiliser aussi le changement de capacité produit par le changement de distance entre deux plaques.7 Les appareils électriques permettent de mesurer îles déformations unitaires de près d'un millionnième.( )n calcule : où / est la distance entre les pointes de l'exten- m - m m m Arm ' A Arm "B FlO CHE t) .hinge électrique peur déformations (Haldwiii-Smitlnviirk SK-t Control Box) On reconnaîtra le montage en pont de Wheatstone. THKOKIK l)K l.'lU.ASTH !TK K T KI.ASTK I.MKTIilK II I I La photoélast icimél rie di n'est que la mesure (le la biréfringence produite par des charges dans des corps transparoiits isotropes, ldi rayon de lumière polarisé qui traverse un corps transparent isotrope dans ton état non chargé ne suliit aucun changement.Mais si le corps est déformé, la phase et le plan de polarisation si 11 lissent des changements directement reliés à l'état de tension.Il est done possible, en suivant une technique appropriée, d’étudier la distribution des tensions en un corps au moyen de l'étude d'un phénomène optique.L'appareil employé est le polariscope, figure ti.\ II doit être rappelé ici que la distribution des tensions dans un état élastique plan, est indépendante de la mit tire icoeflicients d'élasticité et de Poisson) de la matière.Dans l'état élastique tridimensionnel l'influence de ces coefficients dans la distribution des tensions est petite.Les études faites dans des modèles en bakélite I II.I It K ( > \ l’oliirisi'iipc du laboratoire d’élastieimétric de l’Keole Polytechnique.S Source lumineuse ; P: Polarisent'; M : Modèle; < 'L : Appareil de mise en charge ; A: Analyseur; I.: Objectif; (': Camérii. H K \ I I : TUI M i s TH 11.1.1.1 ; ( • A V A 1)1 K V \ I : 412 (HI CM verre, nuns donneront dune des résultat- MgO+CaSO4 Le carbonate et le sulfate de calcium servent de matériaux de remplissage.Le ciment, mis en sacs de papier de cinq épaisseurs afin d'empêcher l’hydratation et la carbonatation, est vendu sous le nom de «Grenite».Mécanisme de la prise.— Actuellement encore, on n’est pas très bien fixé sur le mécanisme de la prise des ciments magnésiens.On admet qu’on est en présence d'une solution solide constituée par de la magnésie libre, du chlorure de magnésium et au moins un oxychlorure de magnésium.L’examen au microscope montre que le ciment magnésien se présente sous l’aspect d'une masse amorphe contenant peu de cristaux.Mais nous savons que l’étude microscopique faite sur tous les ciments est très difficile et que les cristaux peuvent être trop petits pour être aperçus avec les grossissements ordinaires des microscopes.Durant la prise il s opère une réaction très active que l'on constate par les expériences de laboratoire au cours desquelles on a observé: 1.Que le temps de prise est d’environ 20 à 30 minutes.2.Que la résistance à la traction «24 heures après le gâchage» atteint 400 lbs par pouce carré sur les éprouvettes standards, la résistance à la compression allant jusqu’à 3500 lbs par pouce carré.3.Sur de petits échantillons l'élévation de température atteint 70 à 80° C durant la prise.4.Les ciments magnésiens purs éclatent au bout de 8 a 10 jours sous l’effet de tensions internes.Les tensions doivent être considérables puisque nous avons constaté CONTRIBUTION A L’ÉTUDE DES CIMENTS MAGNÉSIENS 435 qu après 7 jours les résistances à la traction atteignent 1000 lbs par pouce carré et la résistance à la compression 10,000 lbs par pouce carré pour ces ciments purs.Il est évident que de tels ciments possèdent des défauts incompatibles avec un usage quelconque et ce n'est que par l’addition de matières inertes ou de retardateurs qu'on peut les employer.PROPRIÉTÉS Les ciments magnésiens possèdent un certain nombre d’avantages et d inconvénients que nous allons énumérer.A vantages L f es ciments sont blancs au lieu d’être gris.Ils peuvent recevoir un très beau poli.2.Ils ont une grande résistance à l'usure.3.Leur faculté d'adhérer aux matériaux permet d’agglomérer un grand nombre de substances.4.Leurs résistances à la tension et à la compression sont grandes, pouvant atteindre 800 et 8000 lbs par pouce carré a 28 jours avec des mortiers préparés selon la formule 1-3-5.5.Ils sont aussi flexibles.0.Ils prennent facilement les empreintes et sont commodes pour le moulage.Désavantages 1.Moindre résistance aux intempéries sauf s'ils sont préparés dans des conditions exceptionnelles.Cela les exclut à peu près complètement des gros travaux extérieurs.On peut toutefois les employer comme stuc s ils n ont pas de charges à supporter.2.Il existe trop de divergences dans les propriétés suivant la provenance, le modi' de préparation, la température de calcination.< es variations ne peuvent pas être facilement prévues parce qu’on n’a pas de méthodes convenables pour contrôler la fabrication.3.Le prix de revient est plus élevé que pour les autres ciments; environ 10 à 20%.Désavantage momentané, car si la demande était plus grande le coût pourrait diminuer. 436 REVEE TRIM EST RI EU.K C A \ A 0IE X XI : Cxa()cs.Les ciments magnésiens peuvent être employés pour la construction de planchers; pour le revêtement intérieur ou extérieur dans les maisons istuc : pour la fabrication d objets d’art.( )n s'en sert comme agglomérant dans la labrication des roues d'émeri, on a même fait des miroirs de télescope avec ce ciment, bien poli et argenté.Si l'on peut standardiser ht fabrication de ce ciment, le rendre impermeable et résistant aux intempéries, son champ d'emploi est illimité, car il est environ deux fois plus résistant que les meilleurs ciments alumineux.Cela permettrait une diminution du y ' ¦ des constructions en béton arme telles que les ponts, gratte-ciel, etc.Partie expérimentale Dans cette partie expérimentale, nous nous contenterons d indiquer les méthodes employees et de donner les tableaux et les courbes résumant les résultats obtenus.Dans une dernière partie, nous ferons la discussion de ces résultats dont nous essayerons de tirer des conclusions logiques.Cale nal on du Carbonati di Magnésium.— Nos essais ont été faits sur du carbonate de magnésium, P.S.P., provenant de maisons counties telles que Merck et Aimer A: Amend.Les calcinations ont été faites dans des creusets de porcelaine chauffés au four électrique Hoskins, pour les températures jusqu’à 1000°< ' puis au four à gaz pour les températures supérieures.I)ii11s tous l»*s cas, la température était mesurée par un p\ ro-mèîre thermoélectrique et un pyromètre optique.i.e carbonate était introduit dans le four froid et la température montée graduellement jusqu au point désiré, puis maintenue durant deux heure.-.La quantité de carbonate calcine a chaque opération ne délaissait pas 600 gramme- (200 grammes dans chaque capsule de porcelaine).Sur les magnésies ainsi obtenues nous avons mesure le poids spécifique, et la teneur en acide carbonique.Poids spécifii/tuLa détermination du poids spécifique a été faite par la méthode du picnomètre en employant 1 alcool tnéthy-liquc comme liquide.Nous avons obtenu les résultat- -ui\ants.5 CONTRIBUTION A I 'ÉTUDE DES CIMENTS MAGNÉSIENS 437 MgO calcinée à 700 °C 3 os Mg( ) soo °( ' 3.13 M g< ) ¦ • ¦ • 900 °( ' 3.31 MgO •• 100 C 3.40 MgO 1200 °C.3 .50 1 nhi/ilrnh carbonium .— La détermination de la te 1 .* ‘ i iw iiium nu, "ii introduit dans un flacon, surmonté d'un entonnoir muni ,l’,m rol|inet, un poids déterminé de .MgO dont on veut connaître la teneur en < () ¦'.Dans l'entonnoir, on met de l’acide chlorhydrique et dans un petit appareil, surmontant lui aussi le flacon, on met de l'acide sulphiirique à tnt vers lequel le gaz passe pour se dessécher, "n lait ht tare et ou laisse tomber goutte à goutte l’acide chlorhydrique dans le flacon.Lorsque l'attaque est terminée on pèse de nouveau et la différence de poids est le poids de l'anhydride carbonique déplacé.Nous avons obtenu: MgO calcinée à 700 °( '.MgO “ N00 °( '.MgO " “ 900 °C.-MgO “ •• ] 000°( ' 5 00 4.20 3.60 Solutions de Chlorure de Magnésium.- .Nous avons employé du chlorure de magnésium cristallisé à 0 molécules d'eau.C.P.et provenant de Merck._ J;es solutions ont été préparées avec de l’eau distillée et le poids spécifique de ces solutions a été déterminé avec la balance de West pliai.Des solutions de diverses concentrations ont été faites dans le but de préparer différents mélanges pour faire des mesures de conductibilité électrique de la magnésie dissoute dans la solution de chlorure en fonction de la température et de la concentration des solutions.Les résultats sont indiqués dans la partie intitulée les o.xychlorures.t < Préparation des éprouvettes et essais de résistance mécanique — Des essais ont été faits sur des éprouvettes préparées avec un mélange dit standard qui sert pour le contrôle dans les laboratoires d’essais des matériaux aux États-Unis. 43S revue thimestiuei.ee canadienne Mêlawji « Standard)) MgO .I I ' < Sable fin .22' i Sable Standard 67'.( A ces matières solides nous avons ajouté des quantités variables de solution de chlorure de magnésium.Le sable fin présentait les caractéristiques granulométriques suivantes.l’assaut le tamis de 40 mailles .100' c .100 •• 95% .200 “ 13% Au sable et à la magnésie bien mélangés, la solution de chlorure a été ajoutée en malaxant à l’aide d’une spatule sur une plaque de verre épais., Les éprouvettes de tension et de compression ont été préparées dans des moules standard.-.Les essais mécaniques ont été faits au Laboratoire de résistance des matériaux et au Laboratoire d’essais de ciments de L f.cole.Les éprouvettes étaient conservées dans les moules recouverts d’une plaque de verre pour le premier jour.Luis démoulées et exposées à l’air jusqu'au moment de l'essai.Ri-iulUit*.— Mélange standard avec lâ ce.de solution de chlorure à 24-Bé.par 100 gms de matières solides.Kssai en tension 7 jours.Charge rie rupture en Ib po- Mg( ) 700 b ' 120 MgO Mitre 320 MgO 900 °( ’ .4 S0 .MgO 1000°( ' 020 MgO 1200 °( ' 800 ( es résultats sont les moyennes de 3 essais.D’autres mélanges ont été prépares dans le but d etudier l'influence de divers facteurs.Nous donnerons les résultats au moment du besoin pour la discussion. CONTRIBUTION- A L’ÉTUDE DES CIMENTS MAGNÉSIENS 439 Mesure de l élévation de temperature et de la variation- dé LA RESISTANCE ÉLECTRIQUE DES ÉCHANTILLONS DE CEMENT MAGNÉSIEN DURANT LA PRISE Le mélange était placé dans un beâker de 250 c.c., ce dernier étant lui-même placé dans une enceinte calorifuge.Cette enceinte consistait en un beaker de 500 c.c.entouré d amiante en poussière et contenue dans un récipient de tôle, le tout fermé par un double couvercle de liège pressé.Thermomètre ,____, Pont de Wheastone.Couvercles de liège.Eprouvette Aigui Iles BeaKer Amiante Ciment magnésien.Au centre du mélange, une éprouvette contenant du mercure servait de puits pour le thermomètre pour empêcher (pie ce dernier ne'colle au ciment), et doux aiguilles platinées servaient d’électrodes pour la mesure de la résistance électrique.Du grand nombre do résultats obtenus, nous tirons une courbe typique.I.examen de cette courbe montre que l’élévation de température est forte et rapide.La courbe de résistance électrique indique le commencement de formation du composé (oxychlorure) à une température de 70°< ', température que nous retrouverons dans les études subséquentes de mesure de conductibilité dans la préparation de l’oxychlorure pur. 44(1 REVUE TH IM KSI 1(1 Kl I.K l ANADIENNE OXYCHLORURE DE M AON ÉSIUM Preparation dt lii.rijchlarun pur.- Pour 1 ô111c 1 in-trainte doit être > 0.5v pour avoir son effet.Le cas le plus tavorable semble être quand sx = sy = v.Alors p = 0 et q = 2v.C’est pourquoi Freyssinet conseille d'utiliser, comme taux limite du cisaillement, [tour le calcul, la moitié de la limite de compression du béton.Ceci amène allègement des dimensions.sollicite le béton par les pressions longitudinales et par les réactions verticales aux appuis.Monsieur Hendreikx, a essayé de faire disparaître l(>s effets du retrait pur l'usage de ciment sursullaté.Monsieur bossier lui aussi fait appel au travail d expansion d un ciment spécial.Mais ici il y a deux inconnues : le degré d allongement d'un ciment spécial à l'expansion, et la perte de précontrainte due à la simultanéité d'expansion et de plasticité.La méthode Deis-chinger est la plus rigoureuse; celle de Freyssinet, la plus claire. 446 HK Vf K TRIMESTRIELLE CA X A DI K N N K aperçu général Lu seule étude du cercle de Mohr (fig.i), nous montre que 1 usage d'une douille précontrainte sur la pout re rabaisse l’axe neutre sous le centre de gravité.11 s’ensuit une diminution importante des contraintes de béton comprimé sous un couple fléchissant fixe.La capacité de résistance du profil est augmentée.L’armature travaille intensément, vu sa contrainte initiale, d’où nécessité d’acier à haute limite apparente d’élasticité.Les contraintes effectives du béton en traction sont intensifiées et le cisaillement considérablement diminué.Nous étudierons successivement les efforts de compression et de traction, les efforts de cisaillement et ceux qui se produisent sur des plans inclinés, l’ancrage, etc.Nous ferons une application simple sur une poutre rectangulaire, quoique, dans ce genre de construction elle ne soit pas la forme la plus économique.I.Étude théorique Efforts de compression et de traction A.FORMULÉS Définition des termes (v.fig.2) As.Section d’acier.Ac.Section de béton.e.Coefficient pour le retrait.De.Module d’élasticité du béton.Es.Module d’élasticité de l’acier.Fc.Effort dans le béton.Fs.Effort dans l’acier.Fies.Eftort dans le béton à la semelle supérieure, dû à la charge vivo.Flei.Effort dans le béton a la semelle inférieure, dû à la charge vive.l’Pes.Effort dans le béton à la semelle supérieure, dû à la précontrainte.F pci.Effort dans le béton à la semelle inférieure, dû à la présontrainte.Fsp.F.fîort initial de traction dans l’acier.Fsp.Effort dans l'acier après le retrait. ÉTUDE DU BÉTON AVEC USAGE DES PRÉCONTRAINTES 447 rrt, de\~orrp-£,ss î-i Figure 2 Termes généraux.Fso.EfTort dans l’acier après le retrait et les déformations.Fo.Asxfso, tension totale sur la section d’acier.Fp.Tension préliminaire totale sur la section d’acier.Ig.Inertie par rapport au centre gravité.Ii.Inertie par rapport à la semelle inférieure.Is.Inertie par rapport à la semelle supérieure.j.Distance du centre gravité à l’armature.ji.Distance du centre gravité à la semelle inférieure.js.Distance du centre gravité à la semelle supérieure.je.Distance de la semelle inférieure au centre de com- pression.X.Fs/Ec.(xc.Moment statique par rapport à l’axe neutre de la section de béton au-dessus de cette section. m 448 RK V V I ; TRI M K STR IK I.I.K C A X A I) 11 : X X11 ô Diagramme des efforts. ÉTUDE DU BÉTON AVEC USAGE DES PRÉCONTRAINTES 449 Effet du retrait Le retrait diminue la valeur de fsp, suivant l'équation, fsp 1 = fsp —- eEs où e = p'+e'J retrait et écou'ement ) (0.75/1000, suivant < luottier).L’étude du retrait, de ses valeurs et de ses causes, devient une partie très importante dans ces constructions.Freyssinet a été poussé à étudier de près ce problème et il en a tiré une théorie de la composition du ciment.«.J'ai été conduit, dit-il, à imaginer que les ciments sont formés de corpuscules séparés par des interstices, dont les dimensions et les formes sont les facteurs essentiels des propriétés des ciments».Xous verrons plus loin la méthode de Freyssinet qui prend le retrait comme point de départ.On a évalué pratiquement à 30% l'effet du retrait sur la précontrainte, soit environ une perte de 45,000 lbs.par pouce carré.Effet de la précontrainte (voir fier.3) La précontrainte introduit un couple et un effort, d'où les formules, fpes = Fo/Ac — Eojjs/I = Fo/Ac ( 1 - jjs/i2) fpci = Fo/Ac + Fojji/I = Fo/Ac ( 1 4-jji/i 2) fpc arm.= Fo/Ac —- Foj -'/I = Fo/Ac fl j 2/i2) fso = fsp 1 — n Fo, Ac I — j 2/i 2 J Effet des cuaroes fies = M js/I flci = — Mji/I fie arm.= Mj/I fs = n.Mj/J Efforts résultants fes = fpcs+flcs fci = fpci+flci fs = fsp‘[( 1 —nAs)/Ac (J —j 2/i 2)+n.Mj/I] fc arm.= Fo/As(l — j 2/i2) — Mj/I ïti m.Sgâiàa,-.- ; ••• ’ .< i 450 H K VU K TKEMESTHIEEEE CANADIENNE Note: Méthode de Fkeyssi.net Sous la tension initiale fsp, il se produit un allongement initial oX = fsp/Es.Libéré l’acier se rétracte suivant les raccourcissements du béton.soit: Xr = raccourcissement uniforme dû au retrait.Xb = raccourcissement élastique sous l'effet de Fo.Xb = fps armature/Eb pXs = oXs — Xr - Xb p- Xo — XI i Xo = oXs — Xr extension préalable utile après le r trait.La pression exercée par l’armature (As = p.\c) atteint sur le béton Fo = As x fso = y?Ae x EspXs à une distance d/2 — a = ij x d/2 de la fibre neutre.Ceci introduit le couple fléchissant: Mp = Fp xr) d/2.On calcule fcp armature = Es i e \ x K M.Paul I.eBki.(1926) a quitté la compagnie Imperial Oil pour la durée de la guerre: il occupe le poste d'ingénieur chimiste pour la firme d'ingénieurs-conseil, Rankin R.A.A: Co.AI.Jean Assku.n (1929) occupe maintenant le poste de gérant de h Ville de Trois-Rivières.M.P.-K.Coi.un 1929) travaille maintenant au .Ministère fédéral du Transport à Ottawa.AI.André Ron haro (1931) a été nommé directeur adjoint de P Renie du génie électrique de Québec.AI.lean Bouchard (1931) est parti en Guyane Anglaise, où il travaille pour le compte de la firme Demarara Bauxite, dans la ville de Alackensie.AI.P.-K.Bruxei.lk (1931) est maintenant à Terre-Neuve, oi il travaille pour le compte du Corps d Aviation Royal ( anadien.AI.Armand Gagnon (1932) est maintenant gérant de la ville de LaTuque.AI.Pierre Warrkn i 1932) travaille maintenant pour le Ministère de la défense nationale à Québec.AI.Jean Bastien (1933) a été transféré d'Ormstown à I.achine, au Alinistère de la Voirie.AI.Marcel Bourassa (1933) a quitté le .Ministère de Transport; il est maintenant à Remploi du Canadien National, département de l'arpentage.AI.Alauriee Scott (1933) est maintenant à Remploi de la firme Sigma Gold Alines, à Val d’Or.AI.Georges Demurs (1935) a laissé le bureau d'ingénieurs-conseil Zachée I.anglais pour entrer au service du .Ministère de la Défense Nationale, pour la durée de la guerre.AI.René Durer (1935) occupe maintenant le poste d assistant-inspecteur du ministère britannique de l’air à l’usine de la Canadian Car and Foundry I.td, à Fort William.Al.( 'amille-René Godix (1935) a laissé son emploi à la < 'ompagnie Canadian General Fleet rie pour devenir professeur a 1 École 'Technique de .Montréal.AI.J.-P.r.ai.onde 11936) a quitté la région de l'Abitibi et travaille maintenant pour la compagnie Marine Industries I.td, a >orel.AI.Roland Fontaine (1937) est maintenant ingénieur divisionnaire du .Ministère de la Voirie à Ormstown.AI.J.-Paul Poirier (1937) vient d’être nommé ingénieur divisionnaire à Berthier pour le Ministère de la Voirie. VIE DK L ASSOCIATION 467 M.Wilfrid Dumont (1938) travaille pour le gouvernement provincial à Québec, à la division des chemins de mines du Ministère des Mines.M.Paul Pelletier (1938) a laissé temporairement la compagnie Lasalle Coke et travaille pour la durée de la guerre pour le compte de Collet Frères Ltée.M.Henri Vinkt (1938) travaille maintenant au Ministère de l'Agriculture de la province de Québec.M.Maurice Bélanger (1939) est maintenant à l’emploi de Sorel Industries Ltd, à Sorel.M.A.Dufresne (1939) a quitté son emploi au Canadian National et travaille maintenant pour le compte de la Compagnie Dufresne engineering.M.Gaspard Lahelle (1939) est à l'emploi de la firme Collet Frères I.tée, à Montréal.M.Olivier Quevillon (1939) est à l’emploi de la Compagnie Canada Car and Foundry, aux usines Turcot.M.J.-Aimé Boileau (1940) travaille maintenant pour l’Aluminum Co.of Canada, à Shipshaw.M.Marc Trudeau (1940) a quitté son emploi à la Compagnie Fairbanks-Morse pour devenir assistant au département de l'hydraulique de Polytechnique.M.Bernard Bealtrk (1941) a laissé la compagnie Dominion Bridge pour suivre un cours post-universitaire d’hygiène industrielle à Fl'nivcrsité de Toronto.M.Guy ('hoquet (1941) est maintenant à l’emploi du ministère des Transports, division du chenal maritime du St-Laurent.M.Hubert Boisclair (1942) travaille maintenant pour F Aluminum Co.of Canada, à Arvida.M.Bernard Denault (1942) est à l'emploi du Ministère de la Voirie, à Montréal.M.Maurice Laquerre ( 1942) trav aille pour la firme Aluminum Co-of Canada à Arvida.M.Gérard Lefebvre (1942) travaille maintenant pour la compagnie Dominion Rubber à St-Jérôme.M.Charles-Édouard Mercier (1942) travaille maintenant pour la firme Milton-IIersey, à la Passe Dangereuse.M.Maurice Valiquette (1942) a laissé l’Abitibi et travaille maintenant pour Sorel Industries Ltd, à Sorel. K ! : r i ; T111 .M i ;.sr iu K u.i : r a \ a ! > 11 : x \ : 40S LES NÔTRES SOl'S LES DRAPEAUX Sont partis outre-mer: Le major Maurice Xaxtel (1933), le lieutenant Guy Beaü-det (193S), le lieutenant Paul Gi.xgras (1927), le capitaine Gaétan Côté (1936), le lieutenant Lucien Lavigxe (1933:, qui font tous partie du troisième bataillon du Corps Royal d’ingénieurs Canadiens.Le major Alexandre Degas (1933) du régiment de Maisonneuve.Le lieutenant Marc Hurtuui.se (1942) et le lieutenant Édouard des Rimères 1942), tous deux du Royal Canadian Ordnance Corps.Se sont enrôlés dernièrement en service au Canada: Le lieutenant Raymont LeI1i:l (1939), du Corps Royal d'ingénieurs ( anadiens.Les officiers René Leduc (1939) et Jacques Leroux (1939), qui viennent de recevoir leur grade récemment à Brockville. H K \ l I ; TRIM K.STIM I.LI.K CA \ ADI K N X I V uexte de revenir % Les fenêtres bombées et cristallines d’un bombardier, la capsule d’amorce d’un obus anti-aérien, l’enveloppe des instruments de précision d’un navire, et encore bien d’autres pièces essentielles aux engins de guerre du Canada sont aujourd’hui faites de substances plastiques.En effet, ces divers produits synthétiques que la science obtient du charbon, de 1 air, de 1 eau, du sel et de la chaux sont maintenant en “tenue de guerre” .Ils simplifient la production, résolvent maints problèmes de construction, intensifient le rendement, conservent les métaux, libèrent les machines outils, gagnent des milliers d’heures de travail aux ouvriers.La guerre donne aux plastiques l’impulsion nécessaire à leur progrès.La paix rétablie, on appliquera ces découvertes «à une multitude de fins domestiques: la construction, l’aviation et l’automobilisme, l’ébénisterie, la confection, etc.Sachons que la plus importante fabrique de plastiques du Canada, celle qui a le plus solide expérience, la plus vaste production selon les meilleurs procédés, est la Canadian General Electric.ütf Si vous avez un problème de production de guerre que les plastiques pourraient vous aider à résoudre, consultez le bureau C.G.E.le plus rapproché.CANADIAN GENERAL ELECTRIC CO.LIMIT» Ii K Y V]•; TRIM ESTRIELLE C AX A D11 :X X E niversité de Montréal École POLYTECHNIQUE Ecole d’ingénieurs — Fondée en 1873 Le programme d'étude: prévoit la formation générale dans foutes les branches du Génie et l'orientation dans les quatre spécialités suivantes : Mécanique-Electricité Travaux Publics-Batiments Mines-Métallurgie Chimie industrielle Les élèves reçoivent à la fin du cours les diplômes d'ingénieur et de Bachelier ès Sciences appliquées avec mention de l'option choisie.LABORATOIRES D’ANALYSES, DE RECHERCHES ET D’ESSAIS, LABORATOIRE PROVINCIAL DES MINES.Prospectus et Renseignements sur demande 1430, RUE SAINT-DENIS— MONTREAL VII P j__________________________________ •' ¦ IIK VU K TRIM ESTRIKLLK CAN A IJIMWE ON TROUVE TOUJOURS A LA LIBRAIRIE DEOM UN choix important de beaux livres anciens et modernes, des éditions originales, rares ou curieuses des meilleurs écrivains des XIXe et XXe siècies et les ouvrages nouveaux, en exemplaires ordinaires ou sur grand papier, d'une sélection d'auteurs contemporains." 1247 RUE ST-DEMS TÉLÉPHONE*.IIA.2.520 MONTRÉAL Avec les compliments 1 de PHILIPPE BEAUBIEN A Cie Accessoires électriques en gros j .i 1 CAlumet 5731 - 5632 Avenue du Parc - Montréal REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE m La BANQUE CANADIENNE NATIONALE est à vos ordres pour toutes vos opérations de banque et de placement Ac fit, environ SI 80,000,000 ?CHIMIE • PHYSIQUE * BACTERIOLOGIE Verrerie Pyrex.Outillage Précision.Étuves Freas et Thelco.Balances de précision.Creusets et coupelles Battersea et D.F.C.Concasseurs, pulvérisateurs, fours Braun pour Laboratoires de Mines.Canadian Laboratory Supplies Ltd.296, RUE SAINT-PAUL OUEST, MONTRÉAL REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE IX Epargnez pour vous ¦ memes et pour aider votre pays Les exigences actuelles sont plus grandes que celles d'autrefois et chacun doit faire sa part même au prix de quelques sacrifices.LA BANQUE PROVINCIALE DU CANADA Siège Social : 221 ouest, rue Saint-Jacques — Montréal 320 succursales et bureaux “Où l’cpargnant dépose ses économies.” LA VICTOIRE doit venir d'abord! AUJOURD'HUI nos industries, transformées pour la production de guerre, travaillent avec toute la main-d’œuvre et le matériel dont elles disposent à sauvegarder le bonheur futur des nations amies de la liberté.L'Industrie .de même que chaque homme et chaque femme .travaille pour l’avènement de la Victoire, alors que nous pourrons retourner à la production des commodités et des agréments qui donnent à la vie de nos foyers un prix justifiant les sacrifices qu’exige la victoire.Westinghouse CANADIAN WESTINGHOUSE CO.LIMITED — MONTREAL & HAMILTON X REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE Tel.FAIkirk 2848 Fondée en 1912 |||j| Wilfrid Pageau PLOMBIER-COUVREUR Pl||^ Poseur d’appareils à gaz et à eau chaude — SPECIALITE: REPARATIONS Travail fait soigneusement et à prix modéré.Bureau et Atelier: 984 Rachel Est Téléphone : DOIIard 2900 Montreal Steam Toilet Supply D.ROBB, Prop.SERVICE COMPLET ET EFFICACE POUR BUREAU OU USINE 2214, boulevard Rosemont MONTREAL LA TRADITION “K & E” La familière marque de fabrique "K